几何分布的期望与方差公式(几何分布的期望与方差的推导)

几何分布和二项分布是比较容易混淆的,一定要搞清楚这两种分布的含义的区别。符合以下特征的分布,就是几何分布:

1、每次事件都是独立的且可重复的
2、每次事件只有两种可能结果,比如:成功、失败
3、每次事件成功的概率P都一样。
4、每次试验的总数量n是固定的。
5、尝试r次,取得第一次成功的概率。

这里可以看出,几何分布相比二项分布,重点差异在于两者所要统计的概率内容是不同的。二项分布统计的是总共n次试验,取得r次成功的概率。几何分布统计的是总共n次试验,尝试r次取得第一次成功的概率。前者求解的是r次成功的概率,后者求解的是尝试r次取得第一次成功的概率。这里大家要好好的体会一下两者的区别。

一、几何分布概率的计算

对于几何分布,尝试r次取得第一次成功的概率,计算公式如下:

这个公式可以这样理解,为了在第r次取得成功,那就意味着要失败r-1次,所以,根据独立事件同时发生的概率计算原理,尝试r次取得第一次成功的概率,自然就等于(r-1)次失败概率(1-P)再乘以第r次成功概率P。这样理解,几何分布的概率计算公式就很容易记住了。

根据几何概率公式,不难得出,在r=1,也就是第1次尝试时,几何概率的概率值是最大的。

这里,根据几何分布的含义,及几何分布总概率=1的原则,可推导出以下公式:

上公式含义:r次后的所有第1次成功的概率之和,等于1减去r次失败的概率和。

上公式含义:r次前的所有第1次成功的概率之和,等于1减去r次后的所有第1次成功的概率之和。

上述两个含义,一定要好好体会搞懂,否则面对题目很容易被晃晕:)。

二、几何分布期望值与方差

几何分布期望值:

这个期望值的含义是:表示预期尝试多少次试验会获得第1次成功。

几何分布标准差:

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